线性代数二次型学习小记

二次型简介

二次型就是可以用二元参数表示的多项式，系数用二次型矩阵表示，这个二次型矩阵很值得研究。

1. 二次型矩阵可以表示二次曲线

2. 二次型矩阵一定是实对称矩阵，这意味着它可以被正交对角化。
   为什么要被正交对角化呢？这是因为，如果要在合同变换前后保持二次型全等不变，变换矩阵需要满足$Q^TQ=E$，即Q是正交矩阵。
   这样的话，我们只要使用特征值分解并且确保向量正交化，就可以轻松完成对角化，进而完成标准化，获得我们所需的信息

3. 二次型矩阵的合同变换可以转化为标准型，且不同基向量组下表示同一个二次型的实对称矩阵是一组合同矩阵。其中对应的合同变换矩阵是对应的基变换矩阵，他一定可逆。

4. 下面开始椭圆标准化和求长短轴的过程：

我们从给定的二次型方程(椭圆)开始：

$ax^2 + 2bxy + cy^2 = 1$

这个方程是一个二次型，可以写成矩阵形式：

$Q(x, y) = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 1$

这里的系数矩阵是对称矩阵：

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$

我们希望通过合同对角化（正交变换）将这个矩阵转化为对角矩阵，从而得到标准椭圆的形式。这样就可以得到长短轴。

假设矩阵 $A$ 的特征向量分别为 $v_1$ 和 $v_2$，则矩阵 $P$ 由这两个特征向量组成，且：

$P = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}$

如果我们使用矩阵 $P$ 进行坐标变换，即令新的坐标 $x'$ 为：

$x' = P^{-1} x$

那么，经过坐标变换后，二次型方程变为：

$x'^T \Lambda x' = 1$

其中 $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$ 是对角矩阵，包含了二次型的特征值。

$\frac{x_1'^2}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}^2} + \frac{x_2'^2}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}^2} = 1$

这意味着：

• 长轴的半长轴 $a = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}$,
• 短轴的半长轴 $b = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}$.

为了对角化矩阵 $A$，我们首先求解其特征值和特征向量。特征值 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的解，满足以下特征方程：

$\det(A - \lambda I) = 0$

即：

$\det\begin{bmatrix} a - \lambda & b \\ b & c - \lambda \end{bmatrix} = 0$

计算行列式：

$(a - \lambda)(c - \lambda) - b^2 = 0$

展开后得到：

$\lambda^2 - (a + c)\lambda + (ac - b^2) = 0$

这个方程的解就是矩阵 ( A ) 的特征值 ( \lambda_1 ) 和 ( \lambda_2 )，分别为：

$\lambda_1, \lambda_2 = \frac{(a + c) \pm \sqrt{(a + c)^2 - 4(ac - b^2)}}{2}$

这两个特征值即为二次型的主轴方向上的系数，它们决定了椭圆的长短轴。

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float det = (cov.x * cov.z - cov.y * cov.y);
if (det == 0.0f)
	return;
float det_inv = 1.f / det;
float3 conic = { cov.z * det_inv, -cov.y * det_inv, cov.x * det_inv };
float mid = 0.5f * (cov.x + cov.z);
float lambda = mid + sqrt(max(0.01f, mid * mid - det));
float my_radius = extent * sqrt(lambda);

二次型与线性变换的区别

线性变换和二次型的矩阵，虽然都叫矩阵，但它们的性质是完全不同的。

线性变换作为张量是一个(1,1)型张量，而二次型是一个(0,2)型张量。这才造成了它们在基变换下的变换规则不同。前者是$V*$和$V$的张量积，后者是$V*$和$V*$的张量积。